Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}}$]上的減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$]上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)周期性、單調性得出結論．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，由題意，函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=-k在區(qū)間上只有一個交點，從而求得k的范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
因為f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，所以$2ω=\frac{2π}{T}=4$，即$f（x）=sin（4x+\frac{π}{6}）$．
因為$x∈[{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}]$，所以$4x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$，
當$\frac{π}{2}≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$時，即$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{4}$時，f（x）為減函數(shù)，
所以f（x）的減區(qū)間為$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
得到$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$，再將$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到$g（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$．
因為$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，g（x）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
若關于x的方程g（x）+k=0在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個實數(shù)根，
即函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=-k在區(qū)間上只有一個交點，
所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤-k＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或-k=1，即$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或k=-1．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．