Question

4．集合A={x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素滿足：
①任意一個(gè)元素的各數(shù)位上的數(shù)字互不相同；
②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9．問(wèn)
（1）集合B中兩位數(shù)和三位數(shù)各有多少個(gè)？
（2）集合B中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？
（3）將集合B中的元素從小到大排列，求第1081個(gè)元素．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對(duì)于兩位數(shù)的個(gè)數(shù)：先計(jì)算所有的兩位數(shù)的數(shù)目，排除其中數(shù)字相同的兩位數(shù)和兩位數(shù)字之和為9的兩位數(shù)，即可得符合條件的兩位數(shù)個(gè)數(shù)；對(duì)于三位數(shù)：先計(jì)算全部三位數(shù)的個(gè)數(shù)，排除其中數(shù)字1和8、2和7、3和6、4和5的三位數(shù)數(shù)目，即可得三位數(shù)的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)題意，分析其中和為9的兩個(gè)數(shù)的情況：（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5），由組合排列公式分析即可得答案．
（3）計(jì)算B中的兩位數(shù)、三位數(shù)和首位是1、2、3的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，計(jì)算可得B中小于4000的元素?cái)?shù)目，分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，所有的兩位數(shù)共90個(gè)，其中數(shù)字相同的有11、22、33、44、55、66、77、88、99，共9個(gè)，
兩位數(shù)字之和為9的有18、27、36、45、54、63、72、81、90，共9個(gè)，
則集合B中兩位數(shù)有90-9-9=72個(gè)；
所有三位數(shù)有9×9×8=648個(gè)，
其中含有數(shù)字0和9的有4×8=32個(gè)，含有數(shù)字1和8、2和7、3和6、4和5的各有4×8+2×7=46個(gè)，
故B的三位數(shù)有648-32-46×4=432個(gè)；
（2）集合B中可以有五位數(shù)，只需在（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中任選1個(gè)，組成一個(gè)五位數(shù)即可；
集合B中沒(méi)有六位數(shù)，在0到9十個(gè)數(shù)字中任取6個(gè)，必包含（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中的1個(gè)，
不滿足任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9條件．
（3）B中的四位數(shù)首位是1、2、3的各有8×A₄³=192個(gè)，
因此，B中小于4000的元素共有72+432+192×3=1080個(gè)，
因此，第1081個(gè)元素為4012．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析題意，將其轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題．