Question

20．已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的函數(shù)．
設(shè)f （x）=x²+x、g（x）=x+2，若h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個(gè)偶函數(shù)，且h（1）=3，則函數(shù)h（-1）=3h （x）=-3x²+6．

Answer 1

分析 先得到h（x）=mx²+（m+n）x+2n，根據(jù)h（x）為偶函數(shù)及h（1）=3便可得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{m+2n=3}\end{array}\right.$，這樣解出m，n，便可求出h（x），并可得到h（-1）=3．

解答 解：h（x）=mf（x）+ng（x）
=m（x²+x）+n（x+2）
=mx²+（m+n）x+2n；
h（x）為偶函數(shù)；
∴m+n=0①；
又h（1）=3；
∴m+m+n+2n=3②；
聯(lián)立①②解得m=-3，n=3；
∴h（-1）=3，h（x）=-3x²+6．
故答案為：3，-3x²+6．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)h（x）為f（x），g（x）在R上生成函數(shù)的定義的理解，以及偶函數(shù)的定義．