已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)·的取值范圍;

(3)B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AEx軸相交于定點.

 

【答案】

(1) +=1 (2) (3)見解析

【解析】

(1):由題意知e==,

e2===,

a2=b2.

b==,

b2=3,a2=4,

故橢圓的方程為+=1.

(2):由題意知直線l的斜率存在,

設直線l的方程為y=k(x-4).

(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

k2<.

A(x1,y1),B(x2,y2),

(*)

y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,

·=x1x2+y1y2

=(1+k2)·-4k2·+16k2

=25-

0k2<,

--<-,

·.

·的取值范圍是.

(3)證明:B、E兩點關于x軸對稱,

E(x2,-y2).

直線AE的方程為y-y1=(x-x1),

y=0x=x1-,

y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

x=.

(*)式代入得,x=1,

∴直線AEx軸交于定點(1,0).

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C 1
x2
a2
+
y2
b2
=λ1
(a>b>0,λ1>0)和雙曲線C 2
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)
,給出下列命題:
①對于任意的正實數(shù)λ1,曲線C1都有相同的焦點;
②對于任意的正實數(shù)λ1,曲線C1都有相同的離心率;
③對于任意的非零實數(shù)λ2,曲線C2都有相同的漸近線;
④對于任意的非零實數(shù)λ2,曲線C2都有相同的離心率.
其中正確的為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(07年陜西卷) (14分)

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線與橢圓交于兩點,坐標原點到直線的距離為,求△面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年人教版高考數(shù)學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為,k的值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:山東省濟南市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學文 題型:選擇題

(本小題滿分12分)

       已知橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率e=,且橢圓經(jīng)過點N(2,-3).

   (1)求橢圓C的方程;

   (2)求橢圓以M(-1,2)為中點的弦所在直線的方程.

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案