已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
(1) +=1 (2) (3)見解析
【解析】
(1)解:由題意知e==,
∴e2===,
即a2=b2.
又b==,
∴b2=3,a2=4,
故橢圓的方程為+=1.
(2)解:由題意知直線l的斜率存在,
設直線l的方程為y=k(x-4).
由
得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,
得k2<.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則 (*)
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,
∴·=x1x2+y1y2
=(1+k2)·-4k2·+16k2
=25-
∵0≤k2<,
∴-≤-<-,
∴·∈.
∴·的取值范圍是.
(3)證明:∵B、E兩點關于x軸對稱,
∴E(x2,-y2).
直線AE的方程為y-y1=(x-x1),
令y=0得x=x1-,
又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
∴x=.
將(*)式代入得,x=1,
∴直線AE與x軸交于定點(1,0).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
m2 |
y2 |
n2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年陜西卷) (14分)
已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓交于、兩點,坐標原點到直線的距離為,求△面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年人教版高考數(shù)學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:山東省濟南市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學文 題型:選擇題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率e=,且橢圓經(jīng)過點N(2,-3).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求橢圓以M(-1,2)為中點的弦所在直線的方程.
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