Question

18．為了了解甲、乙兩所學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)八校聯(lián)考中的數(shù)學(xué)成績情況，從兩校各隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將所得樣本作出頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下：
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	2	5	9	10
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	14	10	6	4

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	2	4	8	16
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	15	6	6	3

以抽樣所得樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體
（1）比較甲、乙兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績的高低；
（2）若規(guī)定數(shù)學(xué)成績不低于120分為優(yōu)秀，從甲、乙兩校全體高三學(xué)生中各隨機(jī)抽取2人，其中數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的共X人，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算甲、乙的平均數(shù)，比較即可得出結(jié)論；
（2）由題意知，甲、乙兩校學(xué)生的優(yōu)秀率分別為$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，X的可能取值是0，1，2，3，4；計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）計(jì)算甲的平均數(shù)為
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{60}$×（75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3）=110.8，…（2分）
乙的平均數(shù)為
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{60}$×（75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4）=112.2；…（4分）
所以乙校學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于甲校；…（5分）
（2）由上表可知，甲、乙兩校學(xué)生的優(yōu)秀率分別為$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，
X=0，1，2，3，4；…（6分）
P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{36}{144}$，P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{60}{144}$，
P（X=2）=${（\frac{3}{4}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$+${（\frac{1}{4}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{37}{144}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{10}{144}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{4}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{144}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{36}{144}$	$\frac{60}{144}$	$\frac{37}{144}$	$\frac{10}{144}$	$\frac{1}{144}$

…（10分）
數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{36}{144}$+1×$\frac{60}{144}$+2×$\frac{37}{144}$+3×$\frac{10}{144}$+4×$\frac{1}{144}$=$\frac{7}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．