Question

3．體積為$\frac{4π}{3}$的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關系，求出邊長，即求出底面正△的面積，從而得出棱柱的體積．

解答 解：由球的體積公式，得$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4π}{3}$，
∴R=1．
∴正三棱柱的高h=2R=2．
設正三棱柱的底面邊長為a，則其內切圓的半徑為：$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$a=1，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴該棱柱的體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}•12•2$=6$\sqrt{3}$，
故答案為6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了球的體積，柱體體積公式的應用；本題的解題關鍵是求底面邊長，這是通過正△的內切圓與邊長的關系得出的．