Question

18．已知cosx＞1+ax²對x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，則a的取值范圍$a≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．

Answer 1

分析 把a分離出來，然后用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性從而求出最值．

解答 解：∵$\frac{cosx-1}{{x}^{2}}＞a$在$（0，\frac{π}{2}）$恒成立
∴$f（x）=\frac{cosx-1}{{x}^{2}}$$；{f}^{′}（x）=\frac{-[xsinx+2（1-cosx）]}{{x}^{3}}$；
∵xsinx＞0，1-cosx＞0
∴f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減．
$f（x）_{min}=f（\frac{π}{2}）=-\frac{4}{{π}^{2}}$
即有a$≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．
故答案為：a$≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．

點評 本題主要考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題