Question

對任意兩個非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

o

β

=

α • β

β • β

，若平面向量

a

、

b

滿足|

a

|＞|

b

|＞0，

a

與

b

夾角θ∈（0，

π

4

），且

a

o

b

和

b

o

a

都在集合{

n

3

|n∈Z}中，則

a

o

b

的取值個數(shù)最多為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：新定義,平面向量及應(yīng)用

分析：由條件利用新定義求得

a

o

b

=

n

3

，

b

o

a

=

m

3

，m、n∈z．根據(jù)|

a

|＞|

b

|＞0，

a

與

b

夾角θ∈（0，

π

4

），可得 n≥m＞0，且cos²θ=

n

3

•

m

3

=

mn

9

∈（

1

2

，1），求得滿足條件的m、n共有6組，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由題意可得，

a

o

b

=

a • b

b • b

=

| a |• | b| •cosθ

| b |•| b |

=

| a| •cosθ

| b |

=

n

3

，

b

o

a

=

b • a

a • a

=

| a |• | b| •cosθ

| a |•| a |

=

| b| •cosθ

| a |

=

m

3

，m、n∈z．
∵|

a

|＞|

b

|＞0，

a

與

b

夾角θ∈（0，

π

4

），
∴n≥m＞0，且cos²θ=

n

3

•

m

3

=

mn

9

∈（

1

2

，1），
∴

n=3 m=2

，或 

n=4 m=2

，或 

n=5 m=1

，或 

n=6 m=1

，或 

n=7 m=1

，或 

n=8 m=1

，共計6組m、n的值，
故

a

o

b

的取值個數(shù)最多為6個，
故選：C．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，得到n≥m 且 m、n∈z，

mn

9

∈（

1

2

，1）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．