Question

若關(guān)于x的不等式x²-（a²+a）x+a³≥0對(duì)一切a∈[-2，

2

]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：二次函數(shù)f（x）=（x-a）（x-a²），①當(dāng)a=a²，即 a=0，或 a=1，檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件．當(dāng)②a＞a² 或③當(dāng)a²＞a時(shí)，檢驗(yàn)不滿(mǎn)足條件，從而得出結(jié)論．

解答： 解：二次函數(shù)f（x）=x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²），
①當(dāng)a=a²，即 a=0，或 a=1，
若a=0，則f（x）=x²≥0恒成立．
若a=1，f（x）=（x-1）²≥恒成立．
②a＞a²，即0＜a＜1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集為
{x|x≤a²，或 x≥a }，不滿(mǎn)足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
③當(dāng)a²＞a時(shí)，即a＜0，或a＞1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集為
{x|x≤a，或 x≥a²}，不滿(mǎn)足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
綜上可得，a=0，或 a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．