Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+a}{{e}^{x}}$，（a∈R）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值．
（2）若f（x）在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解a即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式，然后求解a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+a}{{e}^{x}}$，
可得f′（x）=$\frac{cosx-sinx-a}{{e}^{x}}$．
由f（x）在x=0處取得極值得f′（0）=0，解得a=1．
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{cosx-sinx-a}{{e}^{x}}$，因為f（x）在R上增函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，即cosx-sinx≥a恒成立，
∴$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）≥a恒成立，
∴a≤-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查計算能力．