Question

5．若函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的圖象的一條對(duì)稱軸方程是$x=\frac{π}{4ω}$，函數(shù)f'（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{8}，0}）$，則f（x）的最小正周期是（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 由題意可得f（0）=f（$\frac{π}{2ω}$），由此得到a=b，再根據(jù)函數(shù)f′（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{8}，0}）$，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的圖象的一條對(duì)稱軸方程是$x=\frac{π}{4ω}$，
∴f（0）=f（$\frac{π}{2ω}$），即b=asin（ω•$\frac{π}{2ω}$）+bcos（ω•$\frac{π}{2ω}$）=a，∴f（x）=asinωx+acosωx=$\sqrt{2}$a•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）．
又函數(shù)f'′（x）=$\sqrt{2}$a•ω•cos（ωx+$\frac{π}{4}$）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{8}，0}）$，
∴$\sqrt{2}$a•ωcos（ω•$\frac{π}{8}$+$\frac{π}{4}$）=0，∴ω•$\frac{π}{8}$+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=8k+2，
故取ω=2，則f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的周期性以及圖象的對(duì)稱性，求復(fù)合三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題．