如圖,三棱錐V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.

(1)求證：V、A、B、C四點在同一球面上;

(2)過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直,

求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形.

證明：(1)取VC的中點M，

    ∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°,

    ∴BC⊥VB．在Ｒｔ△VBC中，M為斜邊VC的中點，

    ∴ＭB＝ＭC＝ＭV.

    同理,在Ｒｔ△VAC中，ＭA＝ＭV＝ＭC.

    ∴ＭV＝ＭC＝ＭA＝ＭB.∴V、A、B、C四點在同一圓面上，M是球心.

     (2)取AC、AB、VB的中點分別為N、P、Q，連結(jié)NP、PQ、QM、MN,則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V—ABC的截面，易證PQMN是平行四邊形.

    又VA⊥BC，ＱP∥VA，NP∥BC，∴ＱP⊥PN.

    故截面MNPＱ是矩形.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖，三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°．
（1）求證：V、A、B、C四點在同一球面上；
（2）過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2
3
，VC=1．
（Ⅰ）證明：AB⊥VC；
（Ⅱ）求三棱錐V-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2
3
，VC=1．求二面角V-AB-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐V-ABC中，AB=AC=VB=VC=
5
，BC=2，VA=2
2
．
（1）求證：面VBC⊥面ABC；
（2）求直線VC與平面ABC所成角的余弦值．

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