Question

18．已知圓C：（x-a）²+（y-b）²=1（a＞1）關(guān)于直線y=x+1對稱，直線x+y-4=0交圓C與A，B兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+2與圓C交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知圓C的圓心（a，b）在直線y=x+1上，代入直線方程化簡，由弦長公式和條件求出圓心C到直線x+y-4=0的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，聯(lián)立后求出a、b的值，可得答案；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+2代入圓C的方程化簡，表示出△＞0并化簡求出k的范圍，由韋達(dá)定理寫出x₁+x₂和x₁x₂，由向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6，代入化簡后求出k的值，驗(yàn)證可得答案．

解答 解：（1）由題意知圓C的圓心（a，b）在直線y=x+1上，所以b=a+1，①
因?yàn)閳A心C到直線x+y-4=0的距離為$\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$\frac{|a+b-4|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化簡得a+b-4=1或a+b-4=-1，②
聯(lián)立①②，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$（舍），
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（4分）
（2）假設(shè)存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx+2代入方程（x-2）²+（y-3）²=1，得（x-2）²+（kx-1）²=1，
即（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，③
由△=（2k+4）²-16（1+k²）＞0得，
-4（3k²-4k）＞0，解得$0＜k＜\frac{4}{3}$，
且${x_1}+{x_2}=\frac{2k+4}{{1+{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{4}{{1+{k^2}}}$．…（7分）
因?yàn)?\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+2）（k{x}_{2}+2）$
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
所以$（1+{k^2}）×\frac{4}{{1+{k^2}}}+2k×\frac{2k+4}{{1+{k^2}}}+4=6$，
即3k²+4k+1=0，解得k=-1或k=$-\frac{1}{3}$，…（10分）
此時(shí)③式中△＜0，沒有實(shí)根，與直線l與C交于M、N兩點(diǎn)相矛盾，
所以不存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=6$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的條件，相交時(shí)所得弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了設(shè)而不求思想，化簡、變形能力．