Question

10．過點P（-1，2）的動直線交圓C：x²+y²=3于A，B兩點，分別過A，B作圓C的切線，若兩切線相交于點Q，則點Q的軌跡為（　�。�

• A． 直線的一部分
• B． 圓的一部分
• C． 橢圓的一部分
• D． 拋物線的一部分

Answer 1

分析 根據(jù)圓的對稱性可得，Q點是經(jīng)過C點垂直于AB的直線與過A點切線的交點．由此設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式，分別求出直線AQ、CQ方程，兩個方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程，即為點Q軌跡所在直線方程，再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi)，可得Q軌跡是直線的一部分．

解答 解：設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的對稱性可得，Q點是經(jīng)過C點垂直于AB的直線與A點切線的交點，
∵圓x²+y²=3的圓心為C（0，0）
∴切線AQ的斜率為k₁=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=-$\frac{m}{n}$，得AQ方程為y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），化簡得y=-$\frac{m}{n}$x+$\frac{3}{n}$…①
又∵直線PA的斜率k_PA=$\frac{n-2}{m+1}$，
∴直線CQ的斜率k₂=-$\frac{1}{{k}_{PA}}=\frac{m+1}{2-n}$，
得直線CQ方程為y=$\frac{m+1}{2-n}$x…②
①②聯(lián)立，消去m、n得x-2y+3=0，即為點Q軌跡所在直線方程．
由于直線x-2y+3=0與圓C：x²+y²=3相交，
∴直線位于圓上或圓內(nèi)的點除外．
故選：A．

點評 本題求過P的圓的割線構(gòu)成的兩條切線的交點Q的軌跡．著重考查了圓的性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．