在四棱錐中，，，底面，為的中點，．

(Ⅰ)求四棱錐的體積；

(Ⅱ) 求二面角的大小．

（Ⅰ）    （Ⅱ） 


解析:

（Ⅰ）在中，因為，，

則，.                        （2分）

在中，因為，，

則，.           （3分）

所以.   （5分）

故.                                （6分）

（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，則，所以平面.

過作于，連接，則為二面角的平面角.  （9分）

因為為的中點，，，則.       （10分）

又，所以，即.

故二面角的大小為.                                 （12分）

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河南省高一上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本題13分)

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.分別是的中點.

(1) 求證：；

(2) 求證：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江蘇省高三開學檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為矩形，為上一點，，．

（I）若為的中點，求證平面；

（II）求三棱錐的體積．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預(yù)測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省高三上學期期中考試文科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐中，，，底面是菱形，且，為的中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點，使得平面？并證明你的結(jié)論．

   

 

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