Question

已知集合Tn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對(duì)于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈T_n，定義；

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)，λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）證明：若A，B，C∈T_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈T_n．若A，B∈T_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：綜合題,新定義

分析：（Ⅰ）直接利用新定義運(yùn)算，結(jié)合d（A，B）=7，把A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）代入A與B之間的距離d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|，即可求解a₅的值；
（Ⅱ）利用新定義，結(jié)合

AB

=λ

BC

，即可怎么d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）由d（I，A）=d（I，B）=P，得到|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．然后把d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|，利用絕對(duì)值不等式放縮得答案．

解答： （Ⅰ）解：A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．
由d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|=7，
得d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=5+|a₅-3|=7．
∴|a₅-3|=2，
解得：a₅=1或a₅=5；
（Ⅱ）證明：設(shè)A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈T_n
∵

AB

=λ

BC

，
∴

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)=λ（c₁-b₁，c₂-b₂，…，c_n-b_n），
∵d（A，B）+d（B，C）=

n

i=1

|ai-bi|+

n

i=1

|bi-ci|，d（A，C）=

n

i=

|ai-ci|，
∴d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）解：∵I=（1，1，…，1），A=（a₁，a₂，…a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），
由d（I，A）=d（I，B）=P，
得|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．
∴d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|
=|（a₁-1）-（b₁-1）|+|（a₂-1）-（b₂-1）|+|（a₃-1）-（b₃-1）|+…+|（a_n-1）-（b_n-1）|
≤|a₁-1|+|b₁-1|+|a₂-1|+|b₂-1|+…+|a_n-1|+|b_n-1|=2P．
∴d（A，B）的最大值為2P．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，訓(xùn)練了絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．