Question

已知函數(shù)f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對任意x∈[1，2]恒成立，則
（1）g（x）=

 

．
（2）實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質建立方程組即可求出g（x）的表達式．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，利用換元法將不等式恒成立轉化為參數(shù)恒成立問題，利用基本不等式的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
兩式聯(lián)立得g(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x-2-x

2

．
（2）若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對任意x∈[1，2]恒成立，
即a(2x-2-x)+

22x+2-2x

2

≥0恒成立，
令t=2^x-2^-x，
則t∈[

3

2

，

15

4

]，
則2^2x+2^-2x=（2^x-2^-x）²+2=t²+2，
即2at+t²+2≥0在t∈[

3

2

，

15

4

]上恒成立，
即a≥-

1

2

(t+

2

t

)恒成立，
∵y=t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]上單調遞增，
∴當t=

3

2

時，t+

2

t

取得最小值為

17

6

，
∴-

1

2

(t+

2

t

)的最大值為-

17

12

，
∴a≥-

17

12

．
故答案為：（1）

2x-2-x

2

，（2）a≥-

17

12

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立進行轉化，利用參數(shù)分離法是解決本題的關鍵．