【題目】如圖所示,在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形,再把它沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體箱子,箱底的邊長是多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?
【答案】見解析
【解析】
設(shè)箱子的底邊長為x cm,則箱子高h=cm.故其體積V(x)= (0<x<60).V′(x)=60x-x2=0,據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定箱子容積的最大值即可.
設(shè)箱子的底邊長為x cm,則箱子高h=cm.
箱子容積V=V(x)=x2h= (0<x<60).
求V(x)的導(dǎo)數(shù),得V′(x)=60x-x2=0,
解得x1=0(不合題意,舍去),x2=40.
當(dāng)x在(0,60)內(nèi)變化時,導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表:
x | (0,40) | 40 | (40,60) |
V′(x) | + | 0 | - |
因此在x=40處,函數(shù)V(x)取得極大值,并且這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值.
將x=40代入V(x)得最大容積V=402×=16 000(cm3).
所以箱子底邊長取40 cm時,容積最大,最大容積為16 000 cm3.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:,設(shè)點B,C是直線l:上的兩點,它們的橫坐標(biāo)分別是t,,P點的縱坐標(biāo)為a且點P在線段BC上,過P點作圓M的切線PA,切點為A
若,,求直線PA的方程;
經(jīng)過A,P,M三點的圓的圓心是D,
將表示成a的函數(shù),并寫出定義域.
求線段DO長的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有99%的把握認(rèn)為“喜愛打籃球與性別有關(guān)”?說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明下列問題
(1)設(shè)是公比為的等比數(shù)列且,證明數(shù)列不是等比數(shù)列.
(2)設(shè)為虛數(shù)單位,為正整數(shù),,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,且.?dāng)?shù)列滿足,為數(shù)列的前項和.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一智能掃地機器人在處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的處和北偏東30°方向上的處分別有需要清掃的垃圾,紅外線感應(yīng)測量發(fā)現(xiàn)機器人到的距離比到的距離少0.4米,于是選擇沿路線清掃,已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2,忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉(zhuǎn)所用時間,10秒鐘完成了清掃任務(wù).
(1)、兩處垃圾的距離是多少?
(2)智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角的正弦值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在[25,30),[55,60)的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人,進(jìn)行跟蹤調(diào)查.
(I)求年齡在[25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(II)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年2月9-25日,第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后,第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會,某大學(xué)在平昌冬奧會開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機抽取了120名學(xué)生,對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否有的把握認(rèn)為,收看開幕式與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取8人,參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學(xué)生各選取多少人?
(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹,求恰好選到一名男生一名女生的概率P.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè),若對任意,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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