Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+4|．
（1）若y=f（2x+a）+f（2x-a）最小值為4，求a的值；
（2）求不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x的解集．

Answer 1

分析 （1）求出y的解析式，利用絕對(duì)值不等式即可求解a的值．
（2）函數(shù)含有絕對(duì)值，即可考慮到分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)，分別討論當(dāng)x=-4時(shí)，當(dāng)x＞-4時(shí)，當(dāng)x＜-4的情況，可得不同解析式求解不等式即可．

解答 解：（1）由題意，函數(shù)f（x）=|x+4|．
那么y=f（2x+a）+f（2x-a）=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a-4-（2x-a+4）|=|2a|
∵最小值為4，即|2a|=3，
∴a=$±\frac{3}{2}$
（2）函數(shù)f（x）=|x+4|=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，（x＞-4）}\\{0，（x=-4）}\\{-4-x，（x＜-4）}\end{array}\right.$
∴不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x+4＞1-\frac{1}{2}x，（x＞-4）}\\{-4-x＞1-\frac{1}{2}x，（x＜-4）}\end{array}\right.$，解得：x＞-2或x＜-10
故得不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x的解集為{x|x＞-2或x＜-10}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解，屬于基礎(chǔ)題