Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1）且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設函數F（x）=f（x）-mx，若F（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（I）依題意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0，解方程組求出a，b，c值，可得f（x）的表達式；
（Ⅱ）函數F（x）=x²+（2-m）x+1圖象的對稱軸為直線x=

m-2

2

，圖象開口向上，若F（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調函數，則區(qū)間在對稱軸的一側，進而得到實數m的取值范圍；
（Ⅲ）g（x）=x²+（2-k）x+1圖象的對稱軸為直線x=

k-2

2

，圖象開口向上，不同情況下g（x）在區(qū)間[-2，2]上單調性，進而可得函數的最小值為h（k）的解析式．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-m）x+1圖象的對稱軸為直線x=

m-2

2

，圖象開口向上，
當

m-2

2

≤-2或

m-2

2

≥2，即m≤-2或m≥6時，F（x）在[-2，2]上單調，
故實數m的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（Ⅲ）g（x）=x²+（2-k）x+1圖象的對稱軸為直線x=

k-2

2

，圖象開口向上
當

k-2

2

≤-2，即k≤-2時，F（x）在[-2，2]上單調遞增，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
當-2＜

k-2

2

≤2即-2＜k≤6時，F（x）在[-2，

k-2

2

]上遞減，在[

k-2

2

，2]上遞增
此時函數F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k_-4k

4

；
當

k-2

2

＞2即k＞6時，F（x）在[-2，2]上單調遞減，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
綜上，函數F（x）的最小值g(k)=

2k+1，k≤-2 - k2-4k 4 ，-2＜k≤6 9-2k，k＞6

點評：本題考查的知識點是二次函數解析式的求法，二次函數的單調性，二次函數在定區(qū)間上的最值問題，難度中檔．