Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當a=-

1

4

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）求證：（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

（其中n∈N^*，
e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=-

1

4

時，f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

-

(x-1)(x+2)

2(x+1)

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由已知得ax²-x+ln（1+x）≤0對x∈[0，+∞）成立，令h（x）=ax²-x+ln（1+x），則h′(x)=2ax-1+

1

1+x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）a=0時，ln（1+x）≤x，x∈（0，+∞），令x=

2n (2n-1+1)(2n+1)

，利用放縮法能證明（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

．

解答： （1）解：當a=-

1

4

時，f（x）=-

1

4

x2+ln（x+1），x＞-1，
f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x-1)(x+2)

2(x+1)

，
當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）解：f（x）≤x，即ax²-x+ln（1+x）≤0，
對x∈[0，+∞）成立，令h（x）=ax²-x+ln（1+x），
則h′(x)=2ax-1+

1

1+x

=

x(2ax+2a-1)

1+x

，
當a≤0時，h′（x）＜0，得x=

1-2a

2a

，
若0＜a＜

1

2

時，x=

1-2a

2a

＞0，
則h（x）在（0，

1-2a

2a

）為減函數(shù)，在（

1-2a

2a

，+∞）為增函數(shù)，h（a）＞0，舍．
若a≥

1

2

時，x=

1-2a

2a

≤0在[0，+∞）為增函數(shù)，舍．
綜上所述，a≤0．
（3）由（2）得a=0時，ln（1+x）≤x，x∈（0，+∞），
令x=

2n (2n-1+1)(2n+1)

，
則ln（1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

）≤

2n (2n-1+1)(2n+1)

＜

1 2n-1+1

＜(

1

2

)

n-1

2

，
當n≥2時，

n

k=1

ln(1+

2k (2k-1+1)(2k+1)

)＜

2

2

+

n

k=2

(

1

2

)

k-1

2

=

2

2

+

2 2 [1-( 2 2 )n-1]

1- 2 2

＜

3 2

2

+1＜

13

4

，
∴（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．