精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

棱長為1的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，異面直線AB₁與BC所成角的大小為________．

$\text{[math]}$
分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義、數(shù)量積公式，求出和 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 所成的角θ，則異面直線AB₁與BC所成角與θ 相等或互補，從而求得結(jié)果．
解答：設(shè) $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 所成的角為θ，由題意得
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1×1cos120°+0=- $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cosθ= $\text{[math]}$ ×1×cosθ，
∴ $\text{[math]}$ ×1×cosθ=- $\text{[math]}$ ，∴cosθ=- $\text{[math]}$ ．
故異面直線AB₁與BC所成角為 π-θ= $\text{[math]}$ ，
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，利用了異面直線AB₁與BC所成角，和 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 所成的角θ 相等或互補，
體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．

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