Question

16．已知函數(shù)f（x）=ln（x+m）-x（m為常數(shù)），在x=0處取值極值，設(shè)g（x）=f（x）-x²．
（Ⅰ）求m的值及g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）n∈N^*，n≥2時(shí)，證明：ln$\frac{n+1}{2}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到m值，代入g（x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)的最大值，進(jìn)一步得到ln（x+1）≤x+x²，設(shè)x=$\frac{1}{n}$，n∈N*，n≥2，再利用放縮法證明不等式即可

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+m}$-1，
∵f′（0）=0，
∴$\frac{1}{m}$-1=0，
解得m=1，（檢驗(yàn)滿足），
∴g（x）=f（x）-x²=ln（x+1）-x-x²，x＞-1，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1-2x=-$\frac{x（2x+3）}{x+1}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，解得-1＜x＜0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，解得x＞0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）單調(diào)遞減，
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，g（x）_max=g（0）=0，
∴g（x）ln（x+1）-x-x²≤0，
即ln（x+1）≤x+x²，
設(shè)x=$\frac{1}{n}$，n∈N*，n≥2，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{n}$）=ln（n+1）-lnn≤$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}$，
∴l(xiāng)n$\frac{n+1}{2}$=（ln3-ln2）+（ln4-ln3）+…+ln（n+1）-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證明方法，屬于難題