Question

16．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）M是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），若Q為線段MN的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)切線l的方程為y-2=k（x-1），利用圓心到切線的距離等于半徑求得k值，則切線方程可求；
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，求得直線l的方程，并檢驗(yàn)；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可求得k值，從而直線l的方程；
（3）設(shè)MN中點(diǎn)Q（x，y），則M（2x-4，2y），代入圓的方程即得線段MN中點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意可知，所求切線的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
由$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直線l的方程為y=2或$-\frac{4}{3}x-y+\frac{4}{3}+2=0$，
即y=2或4x+3y-10=0；
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，$\sqrt{3}$），和 （1，-$\sqrt{3}$），其距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意．
當(dāng)直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-4vo4lpm^{2}}$，解得d=1，
∴$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$\frac{3}{4}$，
故此時(shí)直線l的方程為$\frac{3}{4}$x-y-$\frac{3}{4}$+2=0，即 3x-4y+5=0，
故直線l的方程為：x=1或3x-4y+5=0；
（3）圓x²+y²=4 上動(dòng)點(diǎn)M及定點(diǎn)N（0，1），
設(shè)MN中點(diǎn)Q（x，y），則M（2x，2y-1），代入圓的方程得4x²+（4y-1）²=4．
∴線段MN中點(diǎn)Q的軌跡方程是：4x²+（4y-1）²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是中檔題．