Question

6．已知函數f（x）=xlnx，過點A（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0）作函數y=f（x）圖象的切線，則切線的方程為x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．

Answer 1

分析 設出切點（m，n），求得導數，可得切線的斜率和切線方程，代入點A，設f（m）=me²+1+lnm，運用單調性，解方程可得m，進而得到切線的方程．

解答 解：設切點為（m，n），
函數f（x）=xlnx的導數為f′（x）=lnx+1，
可得切線的斜率為1+lnm，
切線的方程為y-mlnm=（1+lnm）（x-m），
代入點A（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0），可得
-mlnm=（1+lnm）（-$\frac{1}{{e}^{2}}$-m），
化為me²+1+lnm=0，（*）
設f（m）=me²+1+lnm，f′（m）=e²+$\frac{1}{m}$＞0，f（m）遞增，
由f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=0，可得方程（*）的解為m=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
則切線的方程為x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．
故答案為：x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，正確求導和設出切點是解題的關鍵，屬于中檔題．