Question

11．（$\sqrt{26}$+5）²ⁿ⁺¹的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有（　　）

• A． 2n+1個(gè)零
• B． 2n+2個(gè)零
• C． 2n+3個(gè)零
• D． 2n+4個(gè)零

Answer 1

分析 設(shè)這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是A，小數(shù)部分是B，利用${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$-${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$的展開式，得出整數(shù)部分A，小數(shù)部分B=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$，利用B（A+B）=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$•${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$=1，得出B＜$\frac{1}{{10}^{2n+1}}$，即得它的小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有2n+1個(gè)零．

解答 解：設(shè)這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是A，小數(shù)部分是B，
則${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$-${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$
=2${C}_{2n+1}^{1}$•26ⁿ•5+2${C}_{2n+1}^{3}$•26^n-1•5³+2${C}_{2n+1}^{5}$•26^n-2•5⁵+…+2${C}_{2n+1}^{2n+1}$•5²ⁿ⁺¹；
這個(gè)得數(shù)肯定是個(gè)整數(shù)所以就是A，
所以${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$的小數(shù)部分B=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$；
（因?yàn)?＜$\sqrt{26}$-5＜1，所以0＜${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$＜1）
并且有B（A+B）=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$•${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$=1，
也就是這個(gè)數(shù)的小數(shù)部分和這個(gè)數(shù)的乘積為1，
所以A+B=${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$＞（5+5）²ⁿ⁺¹=10²ⁿ⁺¹，
所以B=$\frac{1}{A+B}$＜$\frac{1}{{10}^{2n+1}}$；
即它的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有2n+1個(gè)零．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是較難的題目．