Question

17．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a=2，ccosB+bcosC=2acosB，則b的值為$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)，可求sinB，結合正弦定理即可解得b的值．

解答 解：∵ccosB+bcosC=2acosB，
∴利用正弦定理化簡得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
則∠B=60°，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a=2，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

點評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．