Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過P作PO⊥面ABCD于O，連結(jié)OA，推導(dǎo)出面PBD⊥面ABCD，CD⊥DB，由此能證明CD⊥面PBD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出CD⊥面PBD，DP⊥BP，由三垂線定理知CP⊥PB，從而∠CPD為二面角C-PB-D的平面角，由此能求出二面角C-PB-D的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）過P作PO⊥面ABCD于O，連結(jié)OA，
依題意PA=PB=PD，則OA=OB=OD，
又△ABD為Rt△ABD，
∴O為BD的中點(diǎn)，
∵PO?面PBD，∴面PBD⊥面ABCD，
在梯形ABCD中，CD²+DB²=CB²，
∴CD⊥DB，
∵面ABCD∩面PBD=BD，
∴CD⊥面PBD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥面PBD，
又DP²+PB²=DB²，
∴DP⊥BP，
由三垂線定理知CP⊥PB，
∴∠CPD為二面角C-PB-D的平面角，
∴cos$∠CPD=\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-D的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向空間思維能力的培養(yǎng)．