Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°
（1）求證：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁
（2）若D₁D=BD，求點(diǎn)D到平面A₁BCD₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先利用勾股定理和余弦定理求出相關(guān)的線線垂直，進(jìn)一步利用線面的垂直的判定和性質(zhì)
轉(zhuǎn)換為面面垂直的判定，從而證明結(jié)論．
（1）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用等面積法求的結(jié)果．

解答： 證明：（1）在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中
D₁D⊥底面ABCD，DD₁⊥A₁D₁
AD=1，CD=2，∠DCB=60°利用余弦定理得：BD=

3

△BDC為直角三角形
BD⊥BC
AD⊥BD
∴A₁D₁⊥B₁D₁
所以A₁D₁⊥平面BDD₁B₁  A₁D₁?平面A₁BCD₁
所以：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁
（2）解：連BD₁，作DM⊥BD₁
由（1）知
平面A₁BCD₁平面BDD₁B₁∵平面A₁BCD₁∩平面BDD₁B₁=BD₁∴DM⊥平面A₁BCD₁
由已知BD=

3

∴DD1=

3

∵D₁D⊥底面ABCD
∴DD₁⊥BD∴BD1=

6

∴

1

2

×

3

×

3

=

1

2

×DM×

6

∴DM=

6

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：勾股定理得逆定理，余弦定理，線面垂直的性質(zhì)與判定，面面垂直的判定以及等面積法的應(yīng)用．