已知a,bc是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)-1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1。
(1)證明: |c|≤1;
(2)證明:當(dāng)-1 ≤x≤1時(shí),|g(x)|≤2;
(3)設(shè)a>0,有-1≤x≤1時(shí),g(x)的最大值為2,求f(x)。
(1) 證明略,(2)證明略(3) f(x)=2x2-1
 由條件當(dāng)=1≤x≤1時(shí),|f(x)|≤1,
x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1 
(2)證法一: 依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c
所以|c|≤1。 當(dāng)a>0時(shí),g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函數(shù),
于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。 
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2  (-1≤x≤1);
當(dāng)a<0時(shí),g(x)=ax+b在[-1,1]上是減函數(shù),
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1  (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
綜合以上結(jié)果,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),都有|g(x)|≤2。
證法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
f(x)=ax2+bx+c,∴|ab+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得:
|ab|=|(ab+c)-c|≤|ab+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線,
因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)x=-1或x=1處取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。

當(dāng)-1≤x≤1時(shí),有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此當(dāng)-1≤x≤1時(shí),|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解: 因?yàn)?i>a>0,g(x)在[-1,1]上是增函數(shù),當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。                             ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
因?yàn)楫?dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸,
由此得-<0 ,即b=0。
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
練習(xí)冊系列答案
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(本題滿分12分)
函數(shù)
(1)若f(-1)=0,并對恒有,求的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,對,=—kx是單調(diào)函數(shù),求k的范圍。

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已知二次函數(shù),不等式的解集為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)解不等式:;
(3)若上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)
(1)若[1,+∞上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若x=3是的極值點(diǎn),求[1,]上的最小值和最大值.

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已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),,且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

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已知函數(shù)則      (   )
A.   B.
C.       D.的大小不能確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

二次函數(shù)∈R)的部分對應(yīng)值如下表:

-3
-2
-1
0
1
2
3
4

6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
則不等式的解集是            

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,實(shí)數(shù)m,n為常數(shù)).且n+3m2=0(m>0),若函數(shù)f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值為0,則m=(  )
A.e
2
3
B.e
3
2
C.
3
2
D.-1

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