【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)滿足,,其中常數(shù)a,b∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)設(shè),求函數(shù)g(x)的極值.
【答案】(1)6x+2y-1=0;(2)g(x)在x=0處取得極小值g(0)=-3,在x=3處取得極大值g(3)=15e-3.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知條件解出a,b,得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式,切線方程的斜率即為該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值,由點(diǎn)斜式即可寫出切線方程;
(Ⅱ)求g(x)導(dǎo)函數(shù)g′(x)=(-3x2+9x)e-x,可得出單調(diào)區(qū)間,從而得到極值.
試題解析:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,
則解得
∴f(x)=x3-x2-3x+1,∴f(1)=-,f′(1)=-3,
∴y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為
y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0;
(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x,
令g′(x)=0,即(-3x2+9x)e-x=0,得x=0或x=3,
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),g′(x)<0,
故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(0,3)時(shí),g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),g′(x)<0,
故g(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.
從而函數(shù)g(x)在x=0處取得極小值g(0)=-3,
在x=3處取得極大值g(3)=15e-3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球,每次從袋中任意摸出一個(gè)球 .
(1)采取有放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,求兩球恰好顏色不同的概率;
(2)采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,求摸得白球的個(gè)數(shù)的均值和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2019·開(kāi)封一模]已知數(shù)列中,,,利用下面程序框圖計(jì)算該數(shù)列的項(xiàng)時(shí),若輸出的是2,則判斷框內(nèi)的條件不可能是( )
A. B. C. D.
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【題目】四棱錐,底面為平行四邊形,側(cè)面底面.已知,,,為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2019·龍泉驛區(qū)一中]交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,且保費(fèi)與上一年車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上三個(gè)以及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮 | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 13 | 7 | 20 | 14 | 6 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損6000元,一輛非事故車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問(wèn)題:
①若該銷售商店內(nèi)有7輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次性購(gòu)進(jìn)70輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= ,且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,若在區(qū)間[﹣1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan﹣1+an﹣an﹣1=0(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{ }等差數(shù)列;
(2)數(shù)列bn=anan+1 , 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比,比例系數(shù)為輪船的最大速度為15海里小時(shí)當(dāng)船速為10海里小時(shí),它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元,其余航行運(yùn)作費(fèi)用(不論速度如何)總計(jì)是每小時(shí)150元假定運(yùn)行過(guò)程中輪船以速度v勻速航行.
求k的值;
求該輪船航行100海里的總費(fèi)用燃料費(fèi)航行運(yùn)作費(fèi)用的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f (x)=ex+2x2-3x.
(1)求證:函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn).
(2)當(dāng)x≥時(shí),若關(guān)于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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