Question

已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

．
（1）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其對(duì)應(yīng)的x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題

分析：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任取兩數(shù)x₁，x₂，只需判斷f（x₁）-f（x₂）與0的大小就行；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值與最大值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴且x₁-x₂＜0，且x₁，x₂∈（2，+∞），∴x₁x₂-4＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
（2）任取x₁，x₂∈（1，2）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴且x₁-x₂＜0，且x₁，x₂∈（1，2），∴x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x）在（1，2）上的單調(diào)遞減，由（1）知f（x）在（2，4）上單調(diào)遞增，
又f（1）=5，f（2）=4，f（4）=5，∴當(dāng)x=1或x=4時(shí)函數(shù)f（x）有最大值5，當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)f（x）有最小值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意的是最值可能是函數(shù)的極值也可能是區(qū)間端點(diǎn)的值．屬于基礎(chǔ)題．