Question

設(shè)，.
（1）請寫出的表達(dá)式（不需證明）；
（2）求的極小值；
（3）設(shè)的最大值為，的最小值為，求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析： （1）依次求出,,,
由此便可猜測出的表達(dá)式.
（2）要求的極小值，先求出，
由，可得的單調(diào)區(qū)間和極值.
（3）配方法可以求出.
由（2）得：，所以.
問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.這又有兩種方法：
法一、構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)來求它的最小值；法二、通過研究這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性來求它的最小值.
試題解析：（1）根據(jù),,,
猜測出的表達(dá)式.      4分
（2）求導(dǎo)得：，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023627919575.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí),；當(dāng)時(shí)，.
所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
即.                       8分
（3）將配方得，
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023627763921.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，10分
問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.
解法1（構(gòu)造函數(shù)）：
令，
則，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023628263718.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以存在使得．
又有在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以．
又由于，，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．
解法2（利用數(shù)列的單調(diào)性）：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240236285751000.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023628637922.png" style="vertical-align:middle;" />，.
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.14分