Question

6．已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=-1的x有四個(gè)，則t的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{{{e^2}+1}}{e}）$
• B． $（\frac{{{e^2}+1}}{e}，+∞）$
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 令y=xe^x，則y'=（1+x）e^x，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，作出y=xe^x圖象，利用圖象變換得f（x）=|xe^x|圖象，令f（x）=m，則關(guān)于m方程h（m）=m²-tm+1=0兩根分別在$（0，\frac{1}{e}），（\frac{1}{e}，+∞）$，滿足g（x）=-1的x有4個(gè)，列出不等式求解即可．

解答 解：令y=xe^x，則y'=（1+x）e^x，由y'=0，得x=-1，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，y'＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，y'＞0，函
數(shù)y單調(diào)遞增．作出y=xe^x圖象，
利用圖象變換得f（x）=|xe^x|圖象（如圖10），
令f（x）=m，則關(guān)于m方程h（m）=m²-tm+1=0
兩根分別在$（0，\frac{1}{e}），（\frac{1}{e}，+∞）$時(shí)（如圖11），
滿足g（x）=-1的x有4個(gè)，由$h（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e}t+1＜0$，
解得$t＞\frac{{{e^2}+1}}{e}$．  
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的圖象的變換，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．