Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0且S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，并證明：a_n+1=2a_n+n，（n∈N^*）；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求證：b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁=0且S_n+1=2S_n+

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n（n+1），代入計算，可得a₂，a₃，n≥2時，a_n+1=S_n+

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2

n（n+1），a_n=S_n-1+

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2

n（n-1），兩式相減，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用a_n+1=2a_n+n，結(jié)合b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），即可證明：b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）利用疊加法，即可求數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=0且S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），
∴S₂=2S₁+1，
∴a₂=1，
同理可得，a₃=4；
∵S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），
∴a_n+1=S_n+

1

2

n（n+1），①
∴n≥2時，a_n=S_n-1+

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2

n（n-1），②
①-②：a_n+1-a_n=a_n+n，
∴a_n+1=2a_n+n，n=1時也成立；
（Ⅱ）∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+2+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ-2．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．