Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數(shù)），若平面上的三個不共線的非零向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，三點A，B，C共線且該直線不過點O，則S₂₀₁₃的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與向量的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應用

分析：由向量式可得a₁+a₂₀₁₃=2，由可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項和公式能夠求出S₂₀₁₃．

解答： 解：∵

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，且三點A，B，C共線，
∴必有a₁+a₂₀₁₃=2，又a_n+1=a_n+a，所以a_n+1-a_n=a為常數(shù)，
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，故S₂₀₁₃=

2013(a1+a2013)

2

=2013
故答案為：2013．

點評：本題考查向量和數(shù)列的綜合運用，解題時要認真審題，注意A、B、C三點共線的充要條件是：對平面內(nèi)任意一點O，都有

OC

=m

OA

+（1-m）

OB

，解題的關鍵是由

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，且A、B、C共線，知a₁+a₂₀₁₃=2．