Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁＝2a＋1(a是常數(shù)，且a≠－1)，

a_n＝2a_n－1＋n²－4n＋2(n≥2)，數(shù)列{b_n}的首項b₁＝a，

b_n＝a_n＋n²(n≥2)．

(1) 證明：{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；

(2) 設S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且{S_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)a的值；

(3) 當a>0時，求數(shù)列{a_n}的最小項．

Answer 1

 (1) 證明：∵ b_n＝a_n＋n²，∴ b_n＋1＝a_n＋1＋(n＋1)²＝2a_n＋(n＋1)²－4(n＋1)＋2＋(n＋1)²＝2a_n＋2n²＝2b_n(n≥2)．

由a₁＝2a＋1，得a₂＝4a，b₂＝a₂＋4＝4a＋4，∵ a≠－1，

∴ b₂≠0，即{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列．

(2) 解：由(1)知b_n＝

S_n＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2ⁿ，當n≥2時，＝

＝2＋.

∵ {S_n}是等比數(shù)列， ∴ (n≥2)是常數(shù)，∴ 3a＋4＝0，即a＝－.

(3) 解：由(1)知當n≥2時，b_n＝(4a＋4)2^n－2＝(a＋1)2ⁿ，

∴ a_n＝

∴ 數(shù)列{a_n}為2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…

顯然最小項是前三項中的一項．

當a∈時，最小項為8a－1；

當a＝時，最小項為4a或8a－1；

當a∈時，最小項為4a；

當a＝時，最小項為4a或2a＋1；

當a∈時，最小項為2a＋1.