【題目】已知函數(shù)對于任意的,都有,當(dāng)時,,且.
(1)求,的值;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)g(x) 最多有幾個零點,并求出此時實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1),;(2),;(3)當(dāng) 時,函數(shù)最多有4個零點.
【解析】
(1)觀察表達(dá)式可知函數(shù)為抽象函數(shù),可給賦具體值,令和即可求得;
(2)可先求證函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合時,,證明函數(shù)為減函數(shù),再采用賦值法和函數(shù)單調(diào)性即可求解最值;
(3)令代入,可證函數(shù)為奇函數(shù),化簡得,再結(jié)合奇偶性和增減性即可判斷函數(shù)的零點個數(shù)和參數(shù)取值范圍
(1)令得,得.
令,,得,解得.
(2)任取且,則,
因為,即,
令 則.
由已知時,且,則,
所以 ,,
所以函數(shù)在R上是減函數(shù),
故在單調(diào)遞減.
所以,
因為,
,
故,.
(3) 令代入,
得,
所以,故為奇函數(shù).
∴
=
=
,
令,即
因為函數(shù)在R上是減函數(shù),
所以,即,
所以當(dāng) 時,函數(shù)最多有4個零點.
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【題目】某次的一次學(xué)科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,可見部分如圖.
(Ⅰ)求參加測試的總?cè)藬?shù)及分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的人數(shù);
(Ⅱ)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,求在抽取的試卷中,恰有一份分?jǐn)?shù)在[90,100)之間的概率.
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【題目】在四棱錐中,平面平面,,,,,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于函數(shù)f(x),若f(x)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點,則稱f(x)為定義域上的“偽奇函數(shù)”.
(1)若f(x)=ln(2x+1)+m是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的“偽奇函數(shù)”,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)試討論f(x)=4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否為“偽奇函數(shù)”?并說明理由.
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【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,且AB=4,點D為線段AB上一點,且,點C為圓O上一點,且.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=DB.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求直線PC與平面PAB所成的角.
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【題目】如圖所示,在三棱臺中,點在上,且,點是內(nèi)(含邊界)的一個動點,且有平面平面,則動點的軌跡是( )
A. 平面B. 直線C. 線段,但只含1個端點D. 圓
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:(a>0),過點P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C分別交于M,N.
(1)寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
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【題目】已知橢圓的方程為,在橢圓上,橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,的面積是的面積的倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線()與橢圓交于,,連接,并延長交橢圓于,,連接,指出與之間的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費用也不斷增加,下表是某購物網(wǎng)站年月促銷費用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù).
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促銷費用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
產(chǎn)品銷量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到);
(2)已知月份該購物網(wǎng)站為慶祝成立周年,特定制獎勵制度:用(單位:件)表示日銷量,若,則每位員工每日獎勵元;若,每位員工每日獎勵元;若,則每位員工每日獎勵元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站月份日銷量服從正態(tài)分布,請你計算某位員工當(dāng)月獎勵金額總數(shù)大約為多少元.(當(dāng)月獎勵金額總數(shù)精確到百分位)
參考數(shù)據(jù):,,其中分別為第個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量,.
參考公式:①對于一組數(shù)據(jù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.
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