已知兩點(diǎn)A(0,
3
)
,B(0,-
3
)
.曲線G上的動點(diǎn)P(x,y)使得直線PA、PB的斜率之積為-
3
4

(I)求G的方程;
(II)過點(diǎn)C(0,-1)的直線與G相交于E、F兩點(diǎn),且
EC
=2
CF
,求直線EF的方程.
分析:(I)利用曲線G上的動點(diǎn)P(x,y)使得直線PA、PB的斜率之積為-
3
4
,建立方程,化簡可得G的方程;
(II)設(shè)直線方程,代入G的方程,利用韋達(dá)定理及
EC
=2
CF
,求出直線的斜率,即可求直線EF的方程.
解答:解:(I)由題知,kAP=
y-
3
x
,kBP=
y+
3
x
(x≠0)
,
kABkBP=
y2-3
x2
=-
3
4
(x≠0)
,化簡得G的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1(x≠0)
.(4分)
(II)設(shè)E(x1y1),F(xiàn)(x2y2),由
.
EC
=2
.
CF
得x1=-2x2.(6分)
設(shè)直線EF的方程為y=kx-1,代入G的方程可得:(3+4k2)x2-8kx-8=0   (8分)
x1+x2=
8k
3+4k2
,x1x2=
-8
3+4k2

又x1=-2x2,∴-x2=
8k
3+4k2
,-
2x
2
2
=
-8
3+4k2
,(10分)
將x2消去得k2=
1
4
k=±
1
2

故直線EF的方程為y=±
1
2
x-1
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,屬于中檔題.
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平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1)、B(-1,3),若點(diǎn)C滿足
OC
OA
OB
,其中α、β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為( 。
A、3x+2y-11=0
B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點(diǎn)A(1,0),B(1,
3
3
),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在第三象限,且∠AOC=
3
,設(shè)
OC
=2
OA
OB
,則λ等于( 。
A、-2B、2C、-3D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點(diǎn)A(-1,2),B(2,1),直線l:3x-my-m=0與線段AB相交,則直線l的斜率的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知兩點(diǎn)A(0,
3
)
B(0,-
3
)
.曲線G上的動點(diǎn)P(x,y)使得直線PA、PB的斜率之積為-
3
4

(I)求G的方程;
(II)過點(diǎn)C(0,-1)的直線與G相交于E、F兩點(diǎn),且
EC
=2
CF
,求直線EF的方程.

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