Question

7．五位同學(xué)按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（1）甲乙必須相鄰
（2）甲乙不相鄰
（3）甲不站中間，乙不站兩端
（4）甲，乙均在丙的同側(cè)．

Answer 1

分析 （1）捆綁法：把甲乙看成一個(gè)整體，再全排列即可，
（2）插空法：將甲乙插入到剩下3人排列后所成的間隔中，
（3）間接法：先求出沒有限制要求的，再排除有要求的，
直接法：分兩類，第一類，乙在中間，乙不在中間，
（4）定序法，甲乙丙的順序共3種，其中甲，乙均在丙的同側(cè)占$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）捆綁法：把甲乙看成一個(gè)整體，這樣5個(gè)人變成了4個(gè)人，全排列共有A₂²A₄⁴=48 （種）站法，
（2）插空法：因?yàn)榧住⒁也幌噜�，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的3個(gè)人站隊(duì)，有A₃³種；第二步再將甲、乙排在3人形成的4個(gè)空檔（含兩端）中，有A₄²種，故共有站法為A₃³A₄²=72（種）．
（3）間接法：若對(duì)甲乙沒有限制條件共有A₅⁵種法，甲在中間有A₄⁴種站法，乙在兩端有2A₄⁴種，甲站中間乙站兩端的有2A₃³種，
故甲不站中間，乙不站兩端共有A₅⁵-3A₄⁴+2A₃³=120-72+12=60，
直接法：第一類，乙在中間，有A₄⁴=24種，乙不在中間，有A₂¹A₃¹A₃³=36種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有24+36=60種，
（4）定序法：甲，乙均在丙的同側(cè)，甲乙丙的順序共3種，其中甲，乙均在丙的同側(cè)占$\frac{2}{3}$，故有$\frac{2}{3}$A₅⁵=80種．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一個(gè)中檔題目