Question

10．設(shè)m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不重合的平面，給出下列四個判斷
①α∥β，m?α，n?β⇒則m∥n；
②α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n；
③正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意點(diǎn)，則直線BM與OP所成的角為定值$\frac{π}{2}$；
④空間四邊形PABC的各邊及對角線長度都相等，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則平面PDE⊥平面ABC．
其中正確的是②③．

Answer 1

分析 ①α利用平面與平面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；
②利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；
③直線OP為動直線，但其在平面BCC₁D₁上的射影是不變的，依據(jù)三垂線定理可得結(jié)論；
④P在平面ABC中的射影是底面的中心，則平面PDE⊥平面ABC，不正確．

解答 解：①α∥β，m?α，n?β，m，n共面，則m∥n，故不正確；
②α⊥β，在α內(nèi)作交線的垂線a，則a⊥β，∵n⊥β，∴a∥n，m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故正確；
③取BC中點(diǎn)N，則ON⊥平面BCC₁D₁，B₁N為OP在平面BCC₁D₁上的射影，
在正方形BCC₁D₁中，CM=BN，BC=BB₁，∴Rt△B₁BN≌Rt△BCM，∴BM⊥B₁N
由三垂線定理可知BM⊥OP，則直線BM與OP所成的角為定值$\frac{π}{2}$，故正確；
④空間四邊形PABC的各邊及對角線長度都相等，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，P在平面ABC中的射影是底面的中心，則平面PDE⊥平面ABC，不正確．
所以正確的是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，考查平面與平面平行、垂直的性質(zhì)定理的運(yùn)用，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．