Question

如圖，過拋物線x²＝4y的對稱軸上任一點P(0，m)(m＞0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．

(1)設點P分有向線段所成的比為λ，證明：⊥(－λ)；

(2)設直線AB的方程是x－2y＋12＝0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意，可設直線AB的方程為y＝kx＋m，代入拋物線方程x2＝4y得x2－4kx－4m＝0．　�、� 　　設A、B兩點的坐標分別是(x1，y1)、(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩根． 　　所以x1x2＝－4m． 　　由點P(0，m)分有向線段所成的比為λ， 　　得＝0，即λ＝－． 　　又點Q是點P關于原點的對稱點， 　　故點Q的坐標是(0，－m)，從而＝(0，2m)． 　　－λ＝(x1，y1＋m)－λ(x2，y2＋m)＝(x1－λx2，y1－λy2＋(1－λ)m)． 　　·(－λ)＝2m[y1－λy2＋(1－λ)m] 　　　　　　　　　　�。�2m[＋·＋(1＋)n] 　　　　　　　　　　　＝2m(x1＋x2)· 　　　　　　　　　　�。�2m(x1＋x2)·＝0． 　　所以⊥(－λ)． 　　(2)由得A、B的坐標分別是(6，9)、(－4，4)． 　　由x2＝y(tǒng)得y＝x2，＝x， 　　所以拋物線x2＝4y在點A處切線的斜率為|x＝6＝3 　　設圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 　　則 　　解之得a＝－，b＝，r＝(a＋4)2＋(b－4)2＝． 　　所以圓C的方程是(x＋)2＋(y－)2＝， 　　即x2＋y2＋3x－23y＋72＝0．

提示：

注：本題第(2)問用到了導數的有關知識．