設(shè)S={1,2,3,…,280}.求最小的自然數(shù)n使得S的每個有n個元素的子集都含有5個兩兩互素的數(shù).

解析:令A(yù)i={S中一切可被i整除的自然數(shù)},i=2,3,5,7.記A=A2∪A3∪A5∪A7,利用容斥原理,容易算出A中元素的個數(shù)是216.由于在A中任取5個數(shù)必有兩個數(shù)在同一個Ai之中,從而他們不互素.于是n≥217.

另一方面,令

B1=(1和S中的一切素數(shù)}

B2=(22,32,52,72,112,132

B3={2×131,3×89,5×53,7×37,11×23,13×19}

B4={2×127,3×83,5×47,7×31,11×19,13×17}

B5={2×113,3×79,5×43,7×29,11×17}

B6={2×109,3×73,5×41,7×23,11×13}

易知B1中元素的個數(shù)為60.令B=B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6,則B中元素的個數(shù)為88,S-B中元素的個數(shù)為192.在S中任取217個數(shù),由于217-192=25>4×6,于是存在i(1≤i≤6),使得這217個數(shù)中有5個數(shù)在Bi中.顯然這5個數(shù)是兩兩互素的,所以n≤217.

于是n=217.
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[  ]
A.

B.

{1,3}

C.

{1}

D.

{2,3}

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