已知常數、、都是實數,函數的導函數為,的解集為.
(Ⅰ)若的極大值等于,求的極小值;
(Ⅱ)設不等式的解集為集合,當時,函數只有一個零點,求實數的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ)當或時,函數在上只有一個零點.
【解析】
試題分析::1.第(Ⅰ)的解答還是要破費周折的.首先要求出導函數.
然后根據的解集為,通過解混合組,得到進而得到.接下來通過研究函數的單調性,由的極大值等于,可解得,這樣就可以求出的極小值.2.第(Ⅱ)問先由不等式的解集為集合,可以解得.然后研究的單調性,值得注意的是,換句話說方程兩邊對求導數,、應看作是常數.單調性弄清楚后,還要比較、的大小.然后根據只有一個零點,列出或,最后解之即可.值得注意的是,很多考生漏了.
試題解析:(Ⅰ)∵,∴.
∵不等式的解集為,
∴不等式的解集為.
∴即
∴,.
∴當或時,,即為單調遞減函數;
當時,,即為單調遞增函數.
∴當時,取得極大值,當時,取得極小值.
由已知得,解得.
∴.
∴的極小值.
(Ⅱ)∵,,,
∴,解得,即.
∵,∴.
∴當或時,,即為單調遞減函數;
當時,,即為單調遞增函數.
∴當時,為單調遞減函數;
當時,為單調遞增函數.
∵,
,,
∴.
∴在上只有一個零點或.
由得;
由,即,得.
∴實數的取值范圍為或.
∴當或時,函數在上只有一個零點.
考點:本題通過導數綜合考查函數的單調性、極值、零點、比較大小等知識.
科目:高中數學 來源:2012-2013學年云南省畢業(yè)生復習第二次統(tǒng)一檢測理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知常數、、都是實數,的導函數為,的解集為,若的極小值等于,則的值是( )
(A) (B)
(C) (D)
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