Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x，則
①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱軸；
⑤當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3．
其中所有正確命題的序號(hào)是①②④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，確定函數(shù)f（x）的周期性，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，最值等，進(jìn)而判斷各個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），
即①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，正確；
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x為增函數(shù)；
由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得：當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
再由函數(shù)的周期為2，可得：
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，正確；
由②得：當(dāng)x=2k，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=2k+1，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最大值1，
故③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0，錯(cuò)誤；
由②得：④x=k，k∈Z均為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
故④x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱軸，正確；
⑤當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，4-x=（0，1），
即f（4-x）=f（2-x）=f（-x）=f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-（4-x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3，
即④f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3．正確
故答案為：①②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，最值，解析式的求法等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．