Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極值0．
（1）求a，b的值；                       
（2）求f（x）在[-4，0]上最值．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1處有極值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通過求導(dǎo)函數(shù)，再代入列方程組，即可解得a、b的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，
函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0．
解得a=2，b=9；
（2）由（1）得：
f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0，
得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞）
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-4，-3），（-1，0]，減區(qū)間為：（-3，-1）．
∴f（x）的極小值：f（-1）=0，
極大值為：f（-3）=-27+54-27+4=4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．