Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+b，給出下列命題：
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）成中心對(duì)稱；
②當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）是遞增函數(shù)；
③f（x）=0至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
④當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）的最大值為．
其中正確的序號(hào)是________．

Answer 1

①②④
分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)加以判斷．利用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得①正確；利用二次函數(shù)圖象及其單調(diào)性，得出②正確；舉出一個(gè)反例，可得③不正確；利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，求函數(shù)的最值可得出④正確．
解答：對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別加以判別：
對(duì)于①，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|x+b，可得f（-x）=-|x|x+b
∴f（x）+f（-x）=2b，可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）成中心對(duì)稱；
對(duì)于②，當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x（x-a）+b，圖象的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上
因此在對(duì)稱軸的右側(cè)為增函數(shù)，所以當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）是遞增函數(shù)；
對(duì)于③，可以取a=3，b=-2時(shí)，f（x）=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根：
，故③不正確；
對(duì)于④，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=-x²+ax+b
當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的最大值為f（）=．
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性為載體，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題，熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵所在．