【題目】如圖,已知拋物線C:y2=4x,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作拋物線C的弦AP,AQ.
(1)若AP⊥AQ,證明:直線PQ過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)假設(shè)直線PQ過(guò)點(diǎn)T(5,-2),請(qǐng)問(wèn)是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ?若存在,求出△APQ的個(gè)數(shù),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】見解析
【解析】
解:(1)設(shè)直線PQ的方程為x=my+n,點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
由得y2-4my-4n=0.
由Δ>0,得m2+n>0,
y1+y2=4m,y1·y2=-4n.
∵AP⊥AQ,∴·=0,
∴(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0.
又x1=,x2=,
∴(y1-2)(y2-2)[(y1+2)(y2+2)+16]=0,
∴(y1-2)(y2-2)=0或(y1+2)(y2+2)+16=0.
∴n=-2m+1或n=2m+5.
∵Δ>0恒成立,∴n=2m+5.
∴直線PQ的方程為x-5=m(y+2),
∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)(5,-2).
(2)假設(shè)存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ.
設(shè)直線PQ的方程為x=my+n.
∵直線PQ過(guò)點(diǎn)T(5,-2),
∴5=m·(-2)+n,
∴n=2m+5.
∴直線PQ的方程為x=my+2m+5.
設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
由得
y2-4my-8m-20=0.
∴y1+y2=4m,y1·y2=-8m-20.
∵PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為
M,
即M,
且=
=2m2+2m+5,
∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(2m2+2m+5,2m).
由已知得=-m,
即m3+m2+3m-1=0.
設(shè)g(m)=m3+m2+3m-1,
則g′(m)=3m2+2m+3>0,
∴g(m)在R上是增函數(shù).
又g(0)=-1<0,g(1)=4>0,
∴g(m)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).
∴函數(shù)g(m)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn),即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一實(shí)根,
∴滿足條件的等腰三角形有且只有一個(gè).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為 .
(1)化曲線的參數(shù)方程為普通方程,化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;
(2)直線(為參數(shù))過(guò)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn),求與直線平行且與曲線相切的直線方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù),數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.
(1)設(shè)bn=log2(an-1),證明:數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)cn=nbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地有10個(gè)著名景點(diǎn),其中8 個(gè)為日游景點(diǎn),2個(gè)為夜游景點(diǎn).某旅行團(tuán)要從這10個(gè)景點(diǎn)中選5個(gè)作為二日游的旅游地.行程安排為第一天上午、下午、晚上各一個(gè)景點(diǎn),第二天上午、下午各一個(gè)景點(diǎn).
(1)甲、乙兩個(gè)日游景點(diǎn)至少選1個(gè)的不同排法有多少種?
(2)甲、乙兩日游景點(diǎn)在同一天游玩的不同排法有多少種?
(3)甲、乙兩日游景點(diǎn)不同時(shí)被選,共有多少種不同排法?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和到直線x=2的距離之比為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),直線l:y=mx+n與曲線E交于C,D兩點(diǎn),與線段AB相交于一點(diǎn)(與A,B不重合).
(1)求曲線E的方程;
(2)當(dāng)直線l與圓x2+y2=1相切時(shí),四邊形ABCD的面積是否有最大值?若有,求出其最大值及對(duì)應(yīng)的直線l的方程;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).
(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為: .估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率;
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com