Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（a＞2$\sqrt{3}$）的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率，過點(diǎn)A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)Q（-3，0），P為線段AD上一點(diǎn)且|AP|=λ|AD|，是否存在定值λ使得OP⊥EQ恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，可得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$=$\frac{3c}{a（a-c）}$，可得：a=2c，又a²=12+c²，解出即可得出．
（2）存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．下面給出分析：直線AD的方程為：y=k（x+4），則E（0，4k）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：D（$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$），利用$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ\overrightarrow{AD}$.$\overrightarrow{EQ}$=（-3，-4k）．假設(shè)$\overrightarrow{EQ}$⊥$\overrightarrow{OP}$，則$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{OP}$=0，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，可得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$=$\frac{3c}{a（a-c）}$，可得：a=2c，又a²=12+c²，解得a²=16，c=2．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．下面給出證明：
直線AD的方程為：y=k（x+4），則E（0，4k）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0，
∴-4x_D=$\frac{64{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，解得x_D=$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，∴y_D=$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$，∴D（$\frac{12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ\overrightarrow{AD}$=$（\frac{24λ-12-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{24λk}{3+4{k}^{2}}）$．
$\overrightarrow{EQ}$=（-3，-4k）．
假設(shè)$\overrightarrow{EQ}$⊥$\overrightarrow{OP}$，則$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{-3（24λ-12-16{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{96λ{(lán)k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=0，
化為：（6+8k²）λ=3+4k²，解得λ=$\frac{1}{2}$．
因此存在定值λ=$\frac{1}{2}$使得OP⊥EQ恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．