Question

由于賀先生工作努力，作為獎勵，馮老板決定贊助賀先生，對他上次定制的iphone6的屏幕進(jìn)行加工．Iphone6屏幕如圖所示：是一個柱體，底面ABCD中，AD∥BC，AD長度為67毫米，AD與BC的距離為2毫米，曲線AB、CD都是分別以x毫米和2毫米為長半軸和短半軸的橢圓�。�2≤x≤5，當(dāng)x=2時，該曲線為圓弧）．平面BCEF的加工成本為每平方毫米1元，曲面ABF和CDE的加工總費用是2h

L

元，其中L是曲線AB的弧長，h為柱體的高．求x的值，使得加工成本最低．（橢圓周長近似公式為C=2πb+4（a-b），a＞b＞0）

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意求出平面BCEF的面積和曲面ABF和CDE的面積，由面積乘以單價得到加工成本，換元后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類得到使加工成本最低的x的值．

解答： 解：由題意可知，平面BCEF的面積為（67-2x）h，曲面ABF和CDE的面積為

1

2

[4π+4（x-2）]h．
設(shè)加工成本為y元，
則y=（67-2x）h+

1

2

[4π+4（x-2）]h•2h

1 4 (4π+4x-8)

=67h-2hx+4（x+π-2）h²•

x+π-2

．
令x+π-2=t，則x=t-π+2．
∵2≤x≤5，
∴π≤t≤3+π．
則y=4h2t

3

2

-2ht+2πh-4h，（π≤t≤3+π）．
y′=6h2

t

-2h，
由y′=6h2

t

-2h=0，得t=

4

9h2

．
即函數(shù)的極小值點為t=

4

9h2

．
當(dāng)

4

9h2

＜π時，t=π，即x+π-2=π，x=2時加工成本最低．
當(dāng)

4

9h2

＞3+π時，t=3+π，即x+π-2=3+π，x=5時加工成本最低．
當(dāng)π≤

4

9h2

≤3+π時，t=

4

9h2

，即x+π-2=

4

9h2

，x=

4

9h2

+2-π時加工成本最低．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．